ZOJ 3929 Deque and Balls(数学、BIT)

题意:

$N\le 10^5的序列,A_i\le N,将这个序列按顺序装入一个deque$
$每次装在deque的首尾概率均等,问所有序列相邻逆序个数的期望$
$相邻逆序个数:=\sum_{i=1}^{N-1} A_i > A_{i+1}$

分析:

$首先对于deque我们可以发现,任意1个中轴左右的数的下标都是递增的$
$假设a_1为中轴,那么a_2,\cdots,a_n只能按顺序放右或者不放右(即放左)$
$那么总的合法序列的个数即为2^{n-1}$
$考虑任意一个逆序对答案的贡献:$
$WLOG,(a_i, a_j), j > i,显然只能放在放在右边,由前面的性质可知a_i和a_j间是没有数的$
$a_i对a_j的贡献,E_{ij}=2^{i-2}\cdot2^{n-j},a_1已经放了,左边还有i-2个,右边n-j个$
$我们用BIT来维护a_i对a_j的贡献,显然只统计a_i>a_j的$
$同理,(a_j, a_i), j>i,显然只能放在左边,贡献同理,E_{ij}=2^{i-2}\cdot2^{n-j}$
$同理,只统计a_j < a_i的$
$注意答案是乘2^i MOD 10^9+7哦,所以约分后还要乘2$

代码:

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#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
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#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
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#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
#include <set>
#include <vector>
using namespace std;
#define pr(x) cout << #x << " = " << x << " "
#define prln(x) cout << #x << " = " << x << endl
const int N = 1e5 + 10, INF = 0x3f3f3f3f, MOD = 1e9 + 7;
void add(int& x, int y) {
if((x += y) >= MOD) x -= MOD;
}
struct BIT {
int n, dir, b[N];
void init(int _n, int _dir) {
n = _n; dir = _dir;
memset(b, 0, sizeof b);
}
void update(int i, int v) {
for(; i && i <= n; i += dir * (i & -i))
add(b[i], v);
}
int query(int i) {
int ret = 0;
for(; i && i <= n; i -= dir * (i & -i))
add(ret, b[i]);
return ret;
}
} small, large;
int n, a[N];
int two[N] = {1};
int main() {
#ifdef LOCAL
freopen("C:\\Users\\TaoSama\\Desktop\\in.txt", "r", stdin);
// freopen("C:\\Users\\TaoSama\\Desktop\\out.txt","w",stdout);
#endif
ios_base::sync_with_stdio(0);
for(int i = 1; i < N; ++i) add(two[i], two[i - 1] * 2);
int t; scanf("%d", &t);
while(t--) {
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", a + i);
small.init(n, 1);
large.init(n, -1);
int ans = 0;
small.update(a[1], 1); //中轴
large.update(a[1], 1);
for(int i = 2; i <= n; ++i) {
add(ans, 1LL * two[n - i] * large.query(a[i] + 1) % MOD); //放右边
add(ans, 1LL * two[n - i] * small.query(a[i] - 1) % MOD); //放左边
small.update(a[i], two[i - 2]); //except 1
large.update(a[i], two[i - 2]); //except 1
}
add(ans, ans);
printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}


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